Učenici II-1 razreda Opće gimnazije u Bosanskoj Krupi 14. marta obilježili su Međunarodni dan matematike (IDM) primjenom fraktalne umjetnosti.
Fraktalna geometrija je geometrija nepravilnih oblika koje nalazimo u prirodi, a riječ fraktal uveo je 1975. godine poljsko-francusko-američki matematičar Benoît Mandelbrot preuzevši riječ iz latinskog korijena fractus, što sugeriše na fragmentirano, slomljeno i prekinuto, pa je fraktal geometrijski oblik koji može biti podijeljen u dijelove, od kojih je svaki (barem približno) umanjena kopija cjeline. Fraktali su stekli popularnost u umjetnosti, iako nisu priznati među umjetnostima jer ih generira računar, a ne čovjek.
Đaci su koristili aplikaciju MandelBrowser, koja je svojevrsni generator fraktalnih slika, a jednostavnom navigacijom, zumiranjem prstom, pomicanjem, rotiranjem, promjenom šema boja moguće je definisati prilagođene fraktalne formule. To im je dalo gotovo neograničene mogućnosti za stvaranje nevjerovatnih slika, uz njihovo spremanje i dijeljenje.
John Archibald Wheeler, teoretski fizičar i prijatelj Alberta Einsteina, i Ian Stewart, profesor matematike na Univerzitetu Warwick, složili su se da je fraktalna geometrija revolucionarni proboj u našem poimanju stvarnosti.
I pored ovakvih stavova svjetski priznatih umova, općeprihvaćeni pojmovi za geometriju su samo rijetki oblici iz prirode, kao što je kugla, kocka... Često ih susrećemo u okruženju, uglavnom ih je stvorio čovjek i svi smo navikli na svijet u tri dimenzije: linija je jednodimenzionalna, ravan je dvodimenzionalna, a prostor trodimenzionalan. Međutim, kod fraktala dimenzija ima drugačije i šire značenje – to je vrijednost koja nam govori u kojoj mjeri fraktal ispunjava prostor.
Fraktali su primjenjivi u mnogim naukama. Mandelbrot je, recimo, posebno volio morsku obalu kao primjer fraktala – ona se uvijek iznova ponavlja u svim mjerilima, pa kilometar obale izgleda jednako ispucalo kao i dio dugačak stotinu kilometara. S fraktalima je lako istražiti samosličnost svake obale zumirajući je pomoću Google Eartha – moguće je pronaći svaku sliku sadržanu u prethodnoj i, iako nisu iste, svaka dijeli približno istu vrstu grubih nazubljenih nepravilnih obilježja.
Fraktale pronalazimo i u meteorologiji, u slikama oblaka ili vazdušnih vrtloga, ali i u geološkoj aktivnosti Zemlje kod riječnih korita, planina, tektonskih rasjeda.
U ljudskom tijelu postoje fraktalne strukture – pluća, krvne žile i mozak su najočitiji primjeri. Ljudski mozak je vrlo lijep komad fraktalnog kompleta – vrlo je naboran i jako zamršen. Fraktalna geometrija je vodeća u istraživanjima o funkcionisanju mozga. Uz dostupnu tehnologiju i znanje o fraktalima moguće je otkriti kad dođe do promjene u strukturi i izgledu krvnih žila, što može upućivati na razne opasne bolesti čije rano otkrivanje i praćenje fraktalne strukture oboljeloj osobi može pomoći. Koristeći mikroskope visoke rezolucije otkriveno je da i bakterije imaju fraktalnu strukturu.
U razredu može biti veoma zabavna Igra haosa. Osamdesetih godina Michael Barnsley otkrio je drugi način stvaranja fraktala, i to crtanjem tačke do tačke, s tim da tačkama ne pridružujete linije, nego crtate tačku za tačkom prema jednostavnim pravilima. Prvo na papiru nacrtate tri tačke kao vrhove trougla i jednu tačku/vrh obojite u crveno, drugu u plavo, a treću u zeleno. Zatim uzmete kockicu i obojite dvije strane u crveno, dvije u plavo i dvije u zeleno. Odaberete jednu tačku na ravni koja može biti daleko od vašeg trougla koliko želite. To je klica. Onda bacite kockicu. Ovisno o tome koja boja izlazi, pomaknete klicu za pola udaljenosti do vrha iste boje i mjesta gdje je pala kockica, a obrišete prethodnu tačku. Zatim ponovite ovu proceduru desetak puta. Poslije desetak bacanja počnete bilježiti mjesta gdje su tačke došle nakon bacanja kockice. Kada ponovite ovaj postupak više stotina puta, obrazac koji se pojavi iznenađuje.
Većina učenika koja nije upoznata s igrom pretpostavlja da će dobiti slučajni razmaz tačaka, a drugi predviđaju da će tačke na kraju ispuniti cijeli trougao. Obje su pretpostavke sasvim normalne s obzirom na slučajnu prirodu igre. Ali, obje su pretpostavke potpuno pogrešne. Rezultirajuća slika je sve samo ne slučajni razmaz – tačke čine ono što matematičari nazivaju Sierpinski trougao, koji se sastoji od tri samoslična dijela i označava sa S.
Ništa u prirodi nije slučajno... Stvar se čini slučajnom samo zbog nepotpunosti našeg znanja, rekao bi Baruch Spinoza.
Primijetite da nema tačaka u središnjem čistom trouglu? Zbog toga smo brisali nekoliko prvih tačaka kada smo bacali kocku.
Fraktalima se moguće zabavljati i u nižim razredima. Za 3D Sierpinski bor potrebno je nekoliko tetraedara (za izradu ovog modela trebat će vam ih 16), papir u boji koju želite, ali je najbolja zelena, makaze, ljepilo ili samoljepljiva traka.
Predložak za izradu tetraedra preuzmite na linku.
Isprintajte i izrežite, sastavite tetraedar tako što preklopite strane i zalijepite ivice, a potom sastavite četiri tetraedra da biste dobili jedan veliki.
To ponovite još tri puta.
Novogodišnji Sierpinski bor je spreman.
Zanimljiva je i spoznaja o fraktalnoj manifestaciji ili samosličnosti u ljudskom ponašanju: ljudi imaju tendenciju da budu samoslični, odnosno da liče na sebe na fundamentalne načine, koji su neovisni o prostornim, vremenskim ili situacijskim skalama posmatranja. Tako, naprimjer, kada pojedinci posjeduju određenu psihološku karakteristiku, oni je pokazuju na mnogim, ako ne i na svim nivoima postojanja, pa je agresivna osoba uvijek agresivna, i na verbalnom nivou i na nivou ponašanja (gura se u redu) i na taktičkom nivou (guranje kolege ustranu da bi dobila unapređenje na poslu).
Generalna konferencija UNESCO-a je na 40. zasjedanju, u novembru 2019. godine, 14. mart, u spomen na dan rođenja Alberta Einsteina i smrti Stivena Hawkinga, proglasila Međunarodnim danom matematike. Inauguracijsko slavlje održano je 2020. godine, a tema za 2021. je Matematika za bolji svijet.
Ovogodišnji poster IDM-a je Fullerova karta, koja prikazuje svijet kao rasklopljeni ikosaedar, a prikazuje kontinente ujedinjene kao jedinstveno (matematičko) ostrvo.
Animacija:
Moji đaci su naš čas registrovali na karti.
